ビットコインのgenesis blockつまり、最初のブロックの情報を見てみます。 まず、0番めつまり、genesis block のブロックハッシュを取得します。 $ bitcoin-cli getblockhash 0 000000000019d6689c085ae165831e934ff763ae46a2a6c172b3f1b60a8ce26f 指定ブロ…

isogeny関連でvelu's formulaというものがあります。 まずは、体についてのおさらいをしておきます。 体Kは標数が0または素数pです。 標数の定義 体Kの乗法の単位元を標数個加算したものが加法の単位元になるということです。 をどれだけ足してもにならない…

sagemath で古典モジュラー多項式を使いたい場合は、以下のコマンドを叩いて、 インストール作業を行う必要があるようです。 すでに計算済みのモジュラー多項式の係数のデータベースのようです。 まあ、計算するだけでも恐ろしく時間がかかるので、データベ…

こちらモジュラー多項式の定義と係数の求め方 - Pebble Codingで モジュラー多項式の係数を求めるアルゴリズムについて書きましたが、rustでの実装が完成しました。 めちゃくちゃ遅く実用化には程遠いですが、解説しておきます。 SageMathでの実装のアルゴリ…

### cargo-profiler インストール $ cargo install cargo-profiler実行するにはbinを含むrustプロジェクトの存在するディレクトリで、 $ cargo profiler callgrind を実行します。 ライブラリモジュールの場合のやり方が分かっていません。参考: cargo-profi…

rustでは通常以下のコマンドで単体テストを実行します。 $ cargo testテストの実行に時間がかかる場合はreleaseビルドでテストを実行させることが可能です。 $ cargo test --release体感ですが、10倍ほど速度が違います。

正規化されたアイゼンシュタイン級数を以下で定義する。 は以下で定義されるベルヌーイ数である。 シグマはnの全ての約数dのべきの和を取る約数関数である。 次数の小さい方から例を書くと、 j関数を以下で定義します。 このj関数は複素数体上の関数ですが、…

数論的約数関数に対して成り立つ恒等式を証明します。 と定義します。 自然数nに対してその約数dについて和をとります。 例: 次の恒等式が成り立ちます。 証明: LHSと比較するにはqのべきが等しいものをまとめる必要があります。 同じべきとなる ij = n は n…

このグラフは楕円曲線を別の変数でパラメトライズした曲線です。 つまり水平線と1点または3点で交わることが分かります。

今まではbrewコマンドでmacvimをインストールしていましたが、アプリケーションとして入れられなくなったため、 brew caskを使います。$ brew uninstall macvim $ brew cask $ brew cask install macvim

Elliptic Curves in Cryptography の VII.23の等式から、VII.24の漸化式を導く計算 証明すべき等式は以下です。 ここからVII.24が得られます。 使う材料は以下です。 (式A) 最初の等式の両辺のwの0乗からd乗までの多項式を計算し、係数を等しいと置くことが…

楕円曲線を満たすxを表す式の一つにDoud's methodがあります。 これを使い、モジュラー多項式の次数を下げた多項式を得るSEA法のロジックのうちの一つを計算してみます。 ぺー関数を以下のように表すのがDoud's methodです。 頭についている定数は以後の計算…

macOS 10.15 catalina からデフォルトシェルがbashからzshrcになりました。 今までいい感じだったコマンドプロンプトを作り直さないといけません。やれやれですね。 今までのbashの設定とほぼ変わらない形で以下を作ってみました。 ブランチ名の右側の記号が…

nが素数の時に成り立つ1のn乗根に関する等式 を証明します。 以下の事実を使います。 (式A) (式B) n is prime (式A)の右辺をzの同じ次数のべきでまとめると、の係数は0なので、 以下が成り立ちます。 pick k different element from 次に から一つの要素を除…

標数pの楕円曲線Eがp等倍点を無限遠点しか持たないとき、その楕円曲線をsupersingularであると呼ぶ。 定理1 qを奇数でであるとし、とするとき、 はsupersingularである。 定理2 完全体上の標数pのsupersingularな楕円曲線はj-invariantが内にある。 (J. H. S…

定理1 n等倍点がE(K)に全て含まれるなら、n乗根は体Kに含まれる。 この定理から以下が言える。定理2 Eを(有理数体)上の楕円曲線とするとき、n=3以上のn等倍点でに含まれないものが存在する。 定理1は、体上のEを考えるとき(pは素数)、n等倍点がE(K)に含まれ…

数学洋書で使われるif and only if の使い方です。 定理 a, bを実数とする。 方程式が２つの異なる実数解をもつ場合、 が成り立つ。かつ成り立つのはその時のみである。 これを英語で書くと次のようになります。 Theorem Let a and b be real numbers. The e…

j関数は重さ0のモジュラーです。つまり、 zで微分します。 ここで、 これを使うと、 これは、 が重さ2のモジュラーであることを意味します。 jの微分がモジュラーになるというのは、Math Overflowという数学専用質問サイトで発見しました。 モジュラー形式そ…

fを複素上半面の有理関数(meromorphic function)とする。 が全ての について成り立つとき、fを重さ(weight)の弱モジュラー(weakly modular)と呼ぶ。 と定義する。 kが負の値のときは発散するので考えない。 kが奇数のときは右辺は0になるので考えない。 k=2…

証明に使う数学公式のメモ。 であるとき、両辺のlogを取り、 微分して、 logを取り、 微分して、 で左辺を書き換えると、 ここで和の順序を変えていないことに注意。

j関数の定理を証明するのにmodular formsの知識が必要なので、勉強し始めました。 とりあえず、教科書が届くまではネットのPDFで勉強します。 一般線型群のモジュラー形式 とし、 として、 と定義する。 というのは複素数から実数を取り除いた集合という意味…

F_p上の楕円曲線のオーダーをrustでbrute-force(力任せ)に計算してみました。 以前 pythonで実装しましたがだいぶ速くなっています。 GitHub - pebble8888/ellipticcurve F_5, y^2 = x^3 + x + 1, order:9, j:2 F_7, y^2 = x^3 + x + 1, order:5, j:1 order …

Velu's Formulaの証明の最後の部分で悩んでいたのですが、解決したのでメモしておきます。 https://eprint.iacr.org/2011/430.pdfこちらの説明でeasyだって書いてあり、数学者のeasyはちょっと計算をすればという意味なので、 ちょっとした計算って何だろう…

python で有限体Fpでの楕円曲線上の有理点の群構造を調べる - Pebble Codingこの記事ででののcardinarityが9であることを調べました。 にの根を加えて拡大体を作ります。 この拡大体上の点を調べてみます。 sage: K = GF(5) sage: R.<x> = K[] sage: L = K.exte</x>…

今まで ./sageでREPL環境を起動していましたが、jupyter notebookモードで起動することもできるようです。 ./sage -n jupyterテキストエディタ機能が使えるので便利です。

python で有限体Fpでの楕円曲線上の有理点の群構造を調べる - Pebble Codingこちらの記事で、 を調べたとき、cardinalityが9でした。 SageMathで同種写像を調べる方法があったので試してみます。 Isogenies — Sage Reference Manual v8.9: Plane curvesなお…

What is an isogeny of elliptic curves?こちらの記事に同種写像(isogeny)の例がのっています。 この写像のxの部分の分母、分子で次数が大きい方が2なので、 この同種写像の次数(degree)は2ということになります。 この変換式が本当に同種写像かどうかを確か…

Tateのisogeny thereom 以下の２つは同値である。 1) 有限体上の２つの楕円曲線が上同種写像である。 2) ２つの楕円曲線上の点の数は等しい。 https://www.math.auckland.ac.nz/~sgal018/iso.pdf

有限体の要素を作ります。 べき部分が3なので、3次の規約多項式の根を追加する必要があります。 を使います。 係数はなので、です。 計算の仕方はだいたい分かったと思いますので以後結果のみを書きます。 有限体の乗法群は元の数が26(=27-1)個あり全ての要…

整数係数の1次元n次多項式で最大次数の係数が1のもの の根となる複素数を代数的整数(algebraic integer)と呼ぶ。 代数的整数 - Wikipedia代数体Kの元のうち、代数的整数のみを抜き出した集合を整数環(ring of integers)と呼び、と表す。 有理数係数の1次元n…