Velu's Formula の証明の一部

Velu's Formulaの証明の最後の部分で悩んでいたのですが、解決したのでメモしておきます。

https://eprint.iacr.org/2011/430.pdf

こちらの説明でeasyだって書いてあり、数学者のeasyはちょっと計算をすればという意味なので、
ちょっとした計算って何だろうと考えたところ、思いつきました。
数学者がclear, obvious, trivialというときは本当に明らかなのですが、easyは信用してはいけません。

Cは楕円曲線Eの部分群です。
部分群に入っていない点 $P(x_P, y_P)$ を楕円曲線E'に写すisogeny写像を $\phi$ とします。
$P \notin C$
isogeny写像なので、 $Q \in C$ に対しては、 $\phi(Q) = \infty$ です。

$\phi(P) = (x_{P} + \sum_{\infty \ne Q \in C} (x_{P+Q} - x_Q), y_{P} + \sum_{\infty \ne Q \in C} (y_{P+Q} - y_{Q}))$
これがisogeny写像であることを示します。
部分群Cの任意の無限遠点でない点 $Q_A \ne \infty$ を使って、
$\phi(P-Q_A) = \phi(P)$ であることを示します。
x, yどちらも同じなので、xの方だけ考えます。
$\phi_x(P-Q_A) = x_{P-Q_A} + (x_{P-Q_A+Q_1} + ... + x_{P-Q_A+Q_A} + ... + x_{P-Q_A+Q_{LAST}}) - \sum_{\infty \ne Q \in C} x_Q$
1項目と和の中の一つを入れ替えます。
$= x_{P-Q_A+Q_A} + (x_{P-Q_A+Q_1} + ... + x_{P-Q_A} + ... + x_{P-Q_A+Q_{LAST}}) - \sum_{\infty \ne Q\in C} x_Q$
和の部分は
$Q_1 - Q_A, Q_2 - Q_A, ..., O - Q_A, ..., Q_{LAST} - Q_A$ を $Q'$ に置き換えられることが分かります。
$Q_A \ne \infty$ としているのとCが群なので、どの要素も $\infty$ にならない。
したがって、
$= x_{P} + \sum_{\infty \ne Q'\in C} x_{P + Q'} - \sum_{\infty \ne Q \in C} x_Q = \phi(P)$
つまり、
$\phi(P-Q_A) = \phi(P)$
が言えました。

残りの証明はこちらにあります。