j関数は重さ0のモジュラーです。つまり、 zで微分します。 ここで、 これを使うと、 これは、 が重さ2のモジュラーであることを意味します。 jの微分がモジュラーになるというのは、Math Overflowという数学専用質問サイトで発見しました。 モジュラー形式そ…

fを複素上半面の有理関数(meromorphic function)とする。 が全ての について成り立つとき、fを重さ(weight)の弱モジュラー(weakly modular)と呼ぶ。 と定義する。 kが負の値のときは発散するので考えない。 kが奇数のときは右辺は0になるので考えない。 k=2…

証明に使う数学公式のメモ。 であるとき、両辺のlogを取り、 微分して、 logを取り、 微分して、 で左辺を書き換えると、 ここで和の順序を変えていないことに注意。

j関数の定理を証明するのにmodular formsの知識が必要なので、勉強し始めました。 とりあえず、教科書が届くまではネットのPDFで勉強します。 一般線型群のモジュラー形式 とし、 として、 と定義する。 というのは複素数から実数を取り除いた集合という意味…

F_p上の楕円曲線のオーダーをrustでbrute-force(力任せ)に計算してみました。 以前 pythonで実装しましたがだいぶ速くなっています。 GitHub - pebble8888/ellipticcurve F_5, y^2 = x^3 + x + 1, order:9, j:2 F_7, y^2 = x^3 + x + 1, order:5, j:1 order …

Velu's Formulaの証明の最後の部分で悩んでいたのですが、解決したのでメモしておきます。 https://eprint.iacr.org/2011/430.pdfこちらの説明でeasyだって書いてあり、数学者のeasyはちょっと計算をすればという意味なので、 ちょっとした計算って何だろう…

python で有限体Fpでの楕円曲線上の有理点の群構造を調べる - Pebble Codingこの記事ででののcardinarityが9であることを調べました。 にの根を加えて拡大体を作ります。 この拡大体上の点を調べてみます。 sage: K = GF(5) sage: R.<x> = K[] sage: L = K.exte</x>…

今まで ./sageでREPL環境を起動していましたが、jupyter notebookモードで起動することもできるようです。 ./sage -n jupyterテキストエディタ機能が使えるので便利です。

python で有限体Fpでの楕円曲線上の有理点の群構造を調べる - Pebble Codingこちらの記事で、 を調べたとき、cardinalityが9でした。 SageMathで同種写像を調べる方法があったので試してみます。 Isogenies — Sage Reference Manual v8.9: Plane curvesなお…

What is an isogeny of elliptic curves?こちらの記事に同種写像(isogeny)の例がのっています。 この写像のxの部分の分母、分子で次数が大きい方が2なので、 この同種写像の次数(degree)は2ということになります。 この変換式が本当に同種写像かどうかを確か…

Tateのisogeny thereom 以下の２つは同値である。 1) 有限体上の２つの楕円曲線が上同種写像である。 2) ２つの楕円曲線上の点の数は等しい。 https://www.math.auckland.ac.nz/~sgal018/iso.pdf

有限体の要素を作ります。 べき部分が3なので、3次の規約多項式の根を追加する必要があります。 を使います。 係数はなので、です。 計算の仕方はだいたい分かったと思いますので以後結果のみを書きます。 有限体の乗法群は元の数が26(=27-1)個あり全ての要…

整数係数の1次元n次多項式で最大次数の係数が1のもの の根となる複素数を代数的整数(algebraic integer)と呼ぶ。 代数的整数 - Wikipedia代数体Kの元のうち、代数的整数のみを抜き出した集合を整数環(ring of integers)と呼び、と表す。 有理数係数の1次元n…

上のの3等分点を考えます。 3等分点は9つあります。(一つは無限遠点です。) そのうちの２つをP, Qとします。 なのでPが曲線上にあることはすぐ確かめられます。 なので、Qも曲線上にあることが分かります。 ちなみに、この計算はmac book上のpython3で以下の…