Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT技術、数学の備忘録

モジュラー形式 その2

モジュラー形式

証明に使う数学公式のメモ。

\frac {x} {1 -x} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}

F_n(z) = \prod_{n=1} f_n(z)であるとき、両辺のlogを取り、
log F_n(z) = \sum_{n=1} log f_n(z)
微分して、
\frac { F_n'(z)} { F_n(z)} = \sum_{n=1} \frac {f_n'(z)} {f_n(z)}

sin(\pi z) = z \prod_{n=1}^{\infty}(1 + \frac {z}{n})(1 - \frac {z}{n})
logを取り、
log(sin(\pi z)) = log(z) + \sum_{n=1}( log (\frac {z+n} {n}) + log(\frac {-z+n}{n}))
微分して、
\pi \frac {cos \pi z} {sin \pi z} = \frac {1} {z} + \sum_{n=1}( \frac {1} {z+n} + \frac {1} {z-n})

\exp (\pi i z) = \cos( \pi z) + i \sin( \pi z)
\exp (-\pi i z) = \cos( \pi z) - i \sin( \pi z)
で左辺を書き換えると、
= \pi i \frac {exp(2 \pi i z)+1} {exp(2 \pi i z) - 1}
= \pi i \frac {-1 - exp (2 \pi i z)}{1 - \exp (2 \pi i z)}
= - \pi i - 2 \pi i \frac {exp (2 \pi i z)} {1 - exp (2 \pi i z)}
= - \pi i - 2 \pi i \sum_{n=1} exp(2 \pi i n z)

\sum_{m \ne 0} (\frac {1} {mz - N} - \frac {1} {mz + N})
= 2 \sum_{m=1}^{\infty} (\frac {1} {mz - N} - \frac {1} {mz+N})
= \frac {2} {z} \sum_{m=1}^{\infty} (\frac {1} {-N/z + m} + \frac {1} {-N/z - m})
= \frac {2} {z} ( z/N - \pi i - 2 \pi i \sum_{n=1} exp(2 \pi i n (-N/z)))

\sum_{m \ne 0} \sum_{n \in Z} f(m, n)= \sum_{m \in Z} \sum_{n \ne 0}f(m, n) - \sum_{m \ne 0} f(m = 0, n)+ \sum_{m \ne 0}f(m, n = 0)
ここで和の順序を変えていないことに注意。