モジュラー形式その3

fを複素上半面 $\mathbb H$ の有理関数(meromorphic function)とする。
$f(\gamma z) = (cz + d)^{k} f(z)$
が全ての $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb Z), z \in \mathbb H$
について成り立つとき、fを重さ(weight) $k \in \mathbb Z$ の弱モジュラー(weakly modular)と呼ぶ。

$G_k(z) = \sum_{m, n \in Z, (m, n) \ne (0, 0)} \frac {1} {(mz + n)^{k}}$
と定義する。
kが負の値のときは発散するので考えない。
kが奇数のときは右辺は0になるので考えない。
k=2のときは右辺は収束しないので、別の定義を使う。
kが4以上のときは、右辺は収束するのでこの定義のままでよい。
kが4以上のときは、 $G_k(z)$ は重さkの弱モジュラーである。

現れる複雑な係数に煩わされるのを避けるため、
$E_k(z) := - \frac {k!} {(2 \pi i)^{k}} \frac {1} {B_{k}} G_k(z)$
と定義して使う。
この定義はKoblitzのIntroduction to Elliptic Curves and Modular Formsの本によるものである。

$E_k(z) = 1 - \frac {2k} {B_k} \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n) q^{n}$ (式A)
である。 $B_k$ はベルヌーイ数である。
シグマは整数nを割り切る0より大きい整数のk乗の和である。
$\sigma_{k}(n) = \sum_{d|n, d \gt 0} d^{k}$

式(A)は4以上のkに対する $E_k(z)$ だが、k=2の場合もwell-definedな式なので、
$E_2(z)$ は式(A)を用いて定義する。

$E_2(z+1) = E_2(z)$
$\frac {1} {z^{2}} E_2(-1/z) = E_2(z) + \frac {12} {2 \pi i z}$
であり、k=2の場合だけ、弱モジュラーではない。

$\Delta = \frac {(240 E_4)^{3} - (504 E_6)^{2}} {1728}$
と定義する。

以下の3つが成り立つとき、関数f(z)をモジュラー形式(modular form)と呼ぶ
i) f(z)が弱モジュラーである。
ii) f(z)が有理関数である。
iii) zが $i \infty$ のとき、f(z)が有限である。

さらに
iv)zが $i \infty$ のとき、f(z)が0である。
が成り立つときは、カスプ形式(cusp form)と呼ぶ。

重さkのモジュラー形式の $\mathbb C$ ベクトル空間を $M_k$ と表す。
その部分集合であるカスプ形式を $S_k \subseteq M_k$ で表す。

f, gを重さkのモジュラー形式とし、それぞれ
$f = \sum_{n=0}^{\infty} a_n q^{n}$
$g = \sum_{n=0}^{\infty} b_n q^{n}$
とし、 $a_i = b_j$ が $j = 0, 1, ..., floor (k/12)$ について成り立つとき、f=gが成り立つ。
これはモジュラー形式の強力な定理なので、２つのモジュラー形式が等しいかどうかを
有限個の係数の比較で済ませることができる。

任意の $f \in M_k$ について、fは次の形に表される。
$f(z) = \sum_{4i + 6j=k} c_{i, j} {E_4(z)}^{i} {E_6(z)}^{j}$
$c_{i, j} \in \mathbb C$