nが素数の時に成り立つ1のn乗根に関する等式

nが素数の時に成り立つ1のn乗根に関する等式
$\sum_{i=0}^{n-1} \frac {1} {1- \zeta^{i} z} = \frac {n} {1-z^{n}}$
$\zeta = \exp ( {2 \pi i / n})$
を証明します。
以下の事実を使います。
$1- z^{n} = (1 - z) (1 - \zeta z) ( 1 - \zeta^{2} z)(1 - \zeta^{3} z) ... (1 - \zeta^{n-1} z)$ (式A)

$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta^{ k j } = 0$ (式B)
n is prime
$1 \le j \le n-1$

(式A)の右辺をzの同じ次数のべきでまとめると、 $z, z^{2}, z^{3}, ... z^{n-1}$ の係数は0なので、
以下が成り立ちます。
$T_{pick\ k}^{all} := \sum$ pick k different element from $\{ -1, - \zeta, -\zeta^{2}, -\zeta^{3}, ..., -\zeta^{n-1} \} = 0$
$1 \le k \le n-1$

次に $\{-1, {-\zeta}, {-\zeta}^{2}, {-\zeta}^{3}, {-\zeta}^{4}, ..., {-\zeta}^{n-1} \}$
から一つの要素 $-{\zeta}^{j}$ を除いた集合から異なるk個の要素を取り出して積を取ったものの和を
$T_{pick\ k}^{j}$
と定義します。
$T_{pick\ k}^{all} = T_{pick\ k}^{j} - \zeta^{j} T_{pick\ k-1}^{j}$ (式C)
これはj=2, k=4の場合に、 $-\zeta^{-2}$ を含む場合と含まない場合で分けて二つの項に分けていることに気が付つくと納得できると思います。

式(C)の左辺は0なので、
$T_{pick\ k}^{j} = \zeta^{j} T_{pick\ k-1}^{j}$
となることが分かります。

$T_{pick\ 1}^{j} = \zeta^{j}$ であることも分かります。
すると、
$T_{pick\ k}^{j} = \zeta^{j(k-1)} T_{pick\ 1}^{j} = \zeta^{jk}$

$\sum_{i=0}^{n-1} \frac {1} {1- \zeta^{i} z}$ の分母をまとめて、
$= \frac {1} {(1-z)(1-\zeta z)(1-\zeta^{2} z) ... (1-\zeta^{n-1}z)} \sum_{k=0}^{n-1} a_{k} z^{k}$
で $a_{k}$ を定義し、 $a_{k}$ を評価します。
$a_0 = n$
$a_k = 0, if 1 \le k \le n-1$
であることを証明すれば良いことが分かります。

$a_k = T_{pick\ k}^{0} +T_{pick\ k}^{1} +T_{pick\ k}^{2} +T_{pick\ k}^{3} +... + T_{pick\ k}^{n-1}$
$= 0 +\zeta^{k} + \zeta^{2k} + \zeta^{3k} + ... + \zeta^{(n-1)k} = 0$
$k \ne 0$
$a_0 = n$ は左辺でz=0とすれば得られます。

この式から得られる等式

証明できた式をzで微分すると次の式が得られます。
$\sum_{i=0}^{n-1} \frac {\zeta^{i}} {(1- \zeta^{i} z)^{2}} = \frac {n^{2} z^{n-1}} {(1-z^{n})^{2}}$
変形して、
$\sum_{i=0}^{n-1} \frac {\zeta^{i} z } {(1- \zeta^{i} z)^{2}} = \frac {n^{2} z^{n}} {(1-z^{n})^{2}}$

左辺の和を2つに分けてそのうちの一つを右辺に移行します。
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac {\zeta^{i} z } {(1 - \zeta^{i} z)^{2}} = \frac {n^{2} z^{n}} {(1-z^{n})^{2}} - \frac {z} {(1-z)^{2}}$
両辺で $z \rightarrow 1$ の極限をとると、右辺は $\frac {1 - n^{2}} {12}$ となります。
これを証明します。

まず、 $z - 1 = x$ として、 $x \rightarrow 0$ の極限を取ることに置き換えます。
$\frac {n^{2} (x+1)^{n}} {((x+1)^{n} - 1)^{2} } - \frac {x + 1} {x^{2}}$
$= \frac {x+1} {((x+1)^{n} - 1)^{2} x^{2}} ( n^{2} x^{2} (x+1)^{n-1} - ((x+1)^{n} - 1)^{2} )$
$= \frac {x+1} { ( {}_n C_1 x + {}_n C_2 x^{2} + {}_n C_3 x^{3} + ... + x^{n} )^{2}x^{2}} ( n^{2} x^{2} (1 + {}_{n-1} C_1 x + {}_{n-1} C_2 x^{2} + {}_{n-1} C_3 x^{3} + ... + x^{n-1}) - ( {}_n C_1 x + {}_n C_2 x^{2} + {}_n C_3 x^{3} + ... + x^{n} )^{2} )$
$= \frac {x+1} { x^{2} ( {}_n C_1 + {}_n C_2 x+ {}_n C_3 x^{2} + ... + x^{n-1} )^{2}x^{2}} ( n^{2} x^{2} (1 + {}_{n-1} C_1 x + {}_{n-1} C_2 x^{2} + {}_{n-1} C_3 x^{3} + ... + x^{n-1}) - x^{2} ( {}_n C_1 + {}_n C_2 x^{1} + {}_n C_3 x^{2} + ... + x^{n-1} )^{2} )$
$= \frac {x+1} { ( {}_n C_1 + {}_n C_2 x + {}_n C_3 x^{2} + ... + x^{n-1} )^{2}x^{2}} ( n^{2} (1 + {}_{n-1} C_1 x + {}_{n-1} C_2 x^{2} + {}_{n-1} C_3 x^{3} + ... + x^{n-1}) - ( {}_n C_1 + {}_n C_2 x + {}_n C_3 x^{2} + ... + x^{n-1} )^{2} )$
$= \frac {x+1} { ( {}_n C_1 + O(x) )^{2}x^{2}} ( n^{2} (1 + {}_{n-1} C_1 x + {}_{n-1} C_2 x^{2} + {}_{n-1} C_3 x^{3} + ... + x^{n-1}) - ( ({}_n C_1)^{2} + 2 {}_n C_1 {}_n C_2 x + ({}_n C_2)^{2} x^{2} + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 x^{2} + 2 {}_n C_2 {}_n C_3 x^{3} + ({}_n C_3)^{2} x^{4} + O(x^{5}) ) )$
$= \frac {(x+1) x } { ( {}_n C_1 + O(x) )^{2}x^{2}} ( n^{2} ({}_{n-1} C_1 + {}_{n-1} C_2 x + {}_{n-1} C_3 x^{2} + ... + x^{n-2}) - ( ( 2 {}_n C_1 {}_n C_2 + ({}_n C_2)^{2} x + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 x + O(x^{2}) ) )$
$= \frac {(x+1) x } { ( {}_n C_1 + O(x) )^{2}x^{2}} ( n^{2} ((n-1) + {}_{n-1} C_2 x + {}_{n-1} C_3 x^{2} + ... + x^{n-2}) - ( ( 2 n \frac {n-1} {2} + ({}_n C_2)^{2} x + {}_n C_3 x + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 x + O(x^{2}) ) )$
$= \frac {(x+1) x } { ( {}_n C_1 + O(x) )^{2}x^{2}} ( n^{2} ({}_{n-1} C_2 x + {}_{n-1} C_3 x^{2} + ... + x^{n-2}) - ( (({}_n C_2)^{2} x + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 x + O(x^{2}) ) )$
$= \frac {(x+1) x^{2} } { ( {}_n C_1 + O(x) )^{2}x^{2}} ( n^{2} ({}_{n-1} C_2 + {}_{n-1} C_3 x + ... + x^{n-3}) - ( (({}_n C_2)^{2} + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 + O(x) ) )$
ここでx=0の極限を取ると、
$= \frac {1} { ( {}_n C_1)^{2} } ( n^{2} {}_{n-1} C_2 - ( (({}_n C_2)^{2} + 2 {}_n C_1 {}_n C_3 ) )$

$= \frac {1} { n^{2} } ( n^{2} \frac {(n-1)(n-2)} {2} - (n^{2} (n-1)^{2} 2^{-2} + 2 n n (n-1) (n-2) 6^{-1} ) )$
$= \frac { (n-1)(n-2)} {2} - \frac {(n-1)^{2}} {4} - \frac {(n-1)(n-2)} {3}$
$= \frac {1 - n^{2}} {12}$

左辺の極限を取ると以下が得られます。
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac {\zeta^{i}} {(1 - \zeta^{i})^{2}} = \frac {1 - n^{2}} {12}$