モジュラー形式その4

j関数は重さ0のモジュラーです。つまり、
$j( \frac {a z + b} {c z + d}) = j(z)$
zで微分します。
$\frac {d j(\frac {az + b}{cz+d}) } {d (\frac {az+b} {cz+d})} \frac {d(\frac {az+b}{cz+d})} {dz} = \frac {df(z)} {dz}$
ここで、
$\frac {d(\frac {az+b}{cz+d})} {dz} = \frac {a} {cz +d} + \frac {(az+b) (-c)} {(cz+d)^{2}}$
$= \frac {a(cz+d) - c(az+b) } {(cz+d)^{2}}$
$= \frac {ad - bc} {(cz+d)^{2}}$
$= \frac {1} {(cz+d)^{2}}$
これを使うと、
$\frac {d j(\frac {az + b}{cz+d}) } {d (\frac {az+b} {cz+d})} = (cz+d)^{2} \frac {dj(z)} {dz}$
これは、
$\frac {dj(z)} {dz}$ が重さ2のモジュラーであることを意味します。
jの微分がモジュラーになるというのは、Math Overflowという数学専用質問サイトで発見しました。

モジュラー形式その３で示したように、任意の重さのモジュラーは $E_4とE_6$ の結合で表すことができます。
重さ2のモジュラーを作るにはk=2=4i + 6jとなるi, jを選べばよいです。
ここで、重さ0のモジュラーであるjで割っても重さは変わりませんので、割っても成り立ちます。
ただし、両辺の極を一致させる必要があります。左辺はj=0で極をもつので、右辺もj=0で極をもつ必要があります。
jと $E_4$ は比例関係にあるので、 $E_4$ が分母に来るようにしないといけません。つまり、iは負である必要があります。
もっとも小さい値だと、i=-1, j=1となるので、
$\frac {\frac {dj(z)} {dz}} {j(z)} = c E_6 / E_4$ となります。
cの値を決定していきます。
$E_4(z) = 1 - 240 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_3 (n) q^{n}$
$E_6(z) = 1 - 504 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_5 (n) q^{n}$
$j(z) = 1 / q + 944 + O(q)$
$q = exp(2 \pi i z)$
から
$dj(z)/dz = -2 \pi i q / {q}^{2} + O(q) = -2 \pi i / q + O(q)$
$\frac {dj(z)/dz} {j(z)} = \frac { -2 \pi i / q + O(q)} {1 / q + 944 + O(q)}$ (式A)
$z \rightarrow i \infty$ であるとき $q \rightarrow 0$ なので、
式(A) = $\frac {-2 \pi i + O(q) } {1 + 944 q + O(q^{2})} (q=0) = -2 \pi i$
となります。
$E_6(q=0) / E_4(q=0) = 1$ であることも分かります。
したがって $c = -2 \pi i$ となります。
$\frac {\frac {dj(z)} {dz}} {j(z)} = -2 \pi i E_6(z)/E_4(z)$
ここで、 $\frac {df(z)} {dz} = \frac {df(q)} {dq} \frac {dq} {dz} = \frac {df(q)} {dq} 2 \pi i q$ を使って書き直すと、
$q \frac {\frac {dj(q)} {dq}} {j(q)} = - \frac {E_6(q)} {E_4(q)}$
となります。

j=1728を極にもつ場合

$\Delta = \frac {{E_4}^{3} - {E_6}^{2}} {1728}$
$j = \frac {{E_4}^{3}} { \Delta }$
${E_4}^{3} = j \Delta$
$\Delta = \frac {j \Delta - {E_6}^{2}} {1728}$ より、
${E_6}^{2} = j \Delta - 1728 \Delta = (j-1728) \Delta$
$j - 1728 = \frac {{E_6}^{2}} {\Delta}$
右辺が重さ０のモジュラーなので左辺も重さ0のモジュラーであることになります。
同じように $j - 1728$ で割ったものを考えます。今度はj=1728で極をもつような右辺を作る必要があります。
j-1728は $E_6$ と比例関係にありますので、j=1728で極を持たせるには、 $E_6$ は分母にする必要があります。
なので、 $\frac {dj(z)/dz} {j(z)-1728} = c {E_4}^{2} / E_6$ となります。
cを決定していきます。
$\Delta = q \prod_{n=1} (1-q^{n})^{24}$ を使うと、
$\frac {dj(z)/dz} {j(z)-1728} = \frac {-2 \pi i / q + O(q)} {(1 - 504 \sum_{n=1} \sigma_5(n) q^{n})^{2}} q \prod_{n=1} (1 - q^{n})^{24}$
q=0とすると、 $-2 \pi i$
したがって、
$q \frac {dj(q) / dq} {j(q) - 1728} = - \frac {{E_4}^{2}} {E_6}$

$q \frac {dj(q)} {dq}$ の微分のことを以後j'(q)で表すことにします。

E_4とE_6の微分

$\Delta = q \prod_{n=1} (1-q^{n})^{24}$
です。
qで対数微分をとると、
$\frac {d \Delta / dq} {\Delta} = \frac {1} {q} + 24 \sum_{n=1} \frac {-nq^{n-1}} {1 - q^{n}}$
qをかけて、
$\Delta' / \Delta = 1 - 24 \sum_{n=1} \frac {n q^{n}} {1-q^{n}} = 1 - 24 \sum_{n=1} \sum_{m=1} n q^{mn}$
$= 1 - 24 \sum_{l=1} \sigma_1(l) q^{l}$
となりますが、
$E_k = 1 - \frac {2k} {B_k} \sum_{n=1} \sigma_{k-1}(n) q^{n}$
$B_1 = 1/6$
なので、これは $E_2$ に等しいです。したがって、
$\Delta' / \Delta = E_2$
であることが分かりました。

$E_4^{3} = j \Delta$ を対数微分すると、
$3 E_4'/E_4 = j'/j + \Delta' / \Delta = - E_6/E_4 + E_2$
となります。

${E_6}^{2} = (j-1728) \Delta$ を同じように対数微分し、
$2 E_6'/E_6 = j'/(j-1728) + \Delta' / \Delta = - {E_4}^{2} / E_6 + E_2$
となります。

$j' = -j E_6 / E_4$ を同じように対数微分し、
$j''/j' = j'/j + E_6'/E_6 - E_4'/E_4 = - E_6/E_4 + \frac {1} {2} ( - E_4^{2}/E_6 + E_2) - \frac {1} {3} (-E_6/E_4 + E_2)$
$= \frac {1} {6} E_2 - \frac {1} {2} E_4^{2}/E_6 - \frac {2} {3} E_6/E_4$
となります。