数学洋書におけるif and only if

数学洋書で使われるif and only if の使い方です。

定理
a, bを実数とする。
方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ が２つの異なる実数解をもつ場合、
$a^{2} - 4 b \gt 0$ が成り立つ。かつ成り立つのはその時のみである。

これを英語で書くと次のようになります。
Theorem
Let a and b be real numbers.
The equation $x^{2} + ax + b = 0$ has two distinct real solutions if and only if $a^{2} - 4 b \gt 0$

Proof
$(\rightarrow)$
Suppose that the equation has real solutions $\alpha$ and $\beta$ such that $\alpha \ne \beta$ .
Note that $x^{2} + a x + b = (x - \alpha)(x-\beta) = x^{2} - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta$ .
So $a = - (\alpha + \beta), b = \alpha \beta$
$a^{2} - 4b = (-(\alpha + \beta))^{2} - 4 \alpha \beta = \alpha^{2} + 2 \alpha \beta + \beta^{2} - 4 \alpha \beta = (\alpha - \beta)^{2} \gt 0$ .

$(\leftarrow)$
By the quadratic formula, the solutions are
$\frac {-a + \sqrt {a^{2} - 4b}} {2}$ and $\frac {-a - \sqrt {a^{2} - 4b}} {2}$
Since $a^{2} - 4b \gt 0$ , $\sqrt {a^{2} - 4b}$ is real and positive.
So the solutions are distinct and real.

この例でわかる通り、if and only if の前に書かれた内容と後に書かれた内容が同値であるということを表します。
証明は、前に書かれた内容を仮定して後に書かれた内容が成り立つことを示すことと、
後ろに書かれた内容を仮定して前に書かれた内容が成り立つことを示すことの両方を行います。
先に $\rightarrow$ であることを示してから $\leftarrow$ を証明することが多いように思います。
この矢印記号が親切に書かれる時もありますが、省略されることがほとんどです。

「AならばB」を示す代わりに、その対偶(contraposition)である「BでなければAでない」を使うこともよくあります。
この時、対偶を示すよと丁寧に書かれる数学書はほぼありませんので、なんか条件が逆だぞと思ったら、
対偶を証明しようとしているんだなと空気を読んで著者に付き合ってあげましょう。

Pebble Coding

ソフトウェアエンジニアによるIT技術、数学の備忘録

数学洋書におけるif and only if