準同型写像に関するカーネルの元の数についての定理

準同型写像に関する元の数についての定理を直観的に理解したいと思います。

G,Yを有限群とする。
群Gから群Yへの準同型写像(Homomorphism)を とする。
すなわち、 をGの任意の元として、
が成りたちます。
ここで左辺のプラスは群Gでの演算,右辺のプラスは群Yでの演算です。

の核は
で定義されます。
核とは、写像の行く先の元が全て群Yの単位元0になる群Gの元の集まりのことです。
の全ての行く先の元を全て集めたものは、一般に、Yの部分群となることが知られています。
(ここでは証明しません。)

の像をと書きます。
このとき、以下が成りたちます。

つまり、群Gの元の数は、核の元の数と像の元の数の積に等しい。

例として、群Gの元の数は20,核の元の数は4だとしましょう。
が核でGの要素だとします。
この4つの元はによって、Yの単位元0に移されます。すなわち、




がなりたっています。
そして、準同型性からGの核でない任意の元に対して以下が成り立ちます。




この右辺の2番目の項は群Yの単位元に等しいです。
Yは群なので、Yの任意の元にYの単位元を加えたものは同じ元のままですね。
するとこの４つの式の右辺は全て同じということになります。
ということは左辺も全て同じですね。




の４つの像は同じYの元であるということになります。
が同じ元なのか異なる元なのかは分かりませんが、
像の元の数は群Gの約数になりそうな雰囲気です。

これはイメージ図ですが、が核の元の数4で、
Gの4個の組みの像が同じYの元になってしまうため、像の元の数が5になっている様子を表しています。
先にイメージだけでも掴んでおくと、この定理を利用する際にとても役に立ちます。
また、この定理の証明は別の文献を参照下さい。
私はこの証明は見つけられていませんが、群論の教科書に載っているのではないかと思います。

この定理では群Yの元の個数については何も言っていません。
仮に、群Yが群Gと同じだった場合、つまり、自己準同型写像(Endomorphism)だった場合は、
さらに色々定理が出てきそうだという想像がつきますが、この記事ではここまでとしておきます。

群論における写像 - Pebble Coding

群の定義といろんな具体例 | 高校数学の美しい物語

準同型写像 [物理のかぎしっぽ]

なお、この定理はこの本のAppendixに載ってました。

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

Ker f は群Gの部分群

fを群Gから群Yへの準同型写像とすると、Gの部分集合

はGの部分群になる。はYの単位元とする。
この証明は難しくありません。
この定理から以下は導かれます。

#Kerfを数えてみる

例1)
Gを {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Yを {0, 1, 2}
3で割った余り
Ker f : {0, 3}