複素数体の楕円曲線等分点の群構造を調べるその3

やっと本命の定理です。

定理 Eを体K上の楕円曲線として、nを正の整数とする。
体Kの標数がnを割り切らないまたは0のとき、Eのn等分点のなす群は $Z_n$ と $Z_n$ の直積に等しい。
$E [ n ] = Z_n \oplus Z_n$
体Kの標数がp>0で $p \mid n$ , $n = {p}^{r} m$ , $p \nmid m$ であるとき、
$E [ n ] = Z_m \oplus Z_m$ または $Z_n \oplus Z_m$ である。

この定理の証明はものすごく長いので、省略します。
知りたい方で時間がある方は、以下に載っていますので挑戦してみてください。

Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications)

作者:Lawrence C. Washington
出版社/メーカー: Chapman and Hall/CRC
発売日: 2008/04/07
メディア: ハードカバー

ここでは、体Kの標数が0より大きい整数で、nを割り切らない場合だけを考えます。
そのとき、
$E [ n ] = Z_n \oplus Z_n$
です。
これは、前にやった演算の表で表すと、

	x	x²	x³	..	x^n-1	y	y²	y³	..	y^n-1	xy	x² y	x y²	x² y²	..	x^n-1 y^n-1
x
x²
..

のようになっていることを意味します。
この表では群の演算を乗算で表現していますが、楕円曲線の点は加算で表現しますので、これ以降は加算の記号を使います。
この群の元は２つの巡回群 $Z_n$ の直積ですから、xを $\beta_1$ yを $\beta_2$ で表すと、
任意の元は $m_1 \beta_1 + m_2 \beta_2$ (mは整数, $0 \le m_1 \lt n, 0 \le m_2 \lt n)$ と表現できます。

ここで、 $E [ n ]$ から $E [ n ]$ への同型写像(isomorphism) $\alpha$ を考えます。
同型写像とは、全単射(bijective)な準同型写像(homomorphism)のことです。
元 $\beta_1$ の写像 $\alpha (\beta_1)$ は $m_1 \beta_1 + m_2 \beta_2$ と書け、
元 $\beta_2$ の写像 $\alpha (\beta_2)$ は $l_1 \beta_1 + l_2 \beta_2$ と書けます。
したがって、この同型写像 $\alpha$ は $2 \times 2$ 行列