複素数体の楕円曲線等分点の群構造を調べるその２

今度は3等分点を考えます。
まず、複素数体の楕円曲線の標数が2でも3でもないことを仮定します。
標数というのは、こちら

によると、複素数の単位元(実数の1)をn個加算したものが、ゼロ元(実数の0)になる場合のnです。つまり、複素数体の体演算にmod nが課されている場合を指します。

標数が2でも3でもないとき、その楕円曲線は以下の式で表せます。
$y^{2} = x^{3} + A x + B$

3等分点ですから、 $3P = O$ を満たします。変形して、 $2P = -P$ です。
これは両辺のx座標は等しいということを表すので、
2Pのx座標は、 $m^{2} - 2x$
ここで $m = (\frac {3 x^{2} + A } { 2y })^{2}$
-Pのx座標は、 $x$ なので、これを等しいと置いて、
$m^{2} - 2x = x$ が得られます。
変形して、 $3x = ( \frac {3 x^{2} + A} {2y})^{2}$
$3x \cdot 4 y^{2} = {3x^{2} + A}^{2}$
$y^{2} = x^{3} + Ax + B$ を使うと
$12x (x^{3} + Ax + B) = (3x^{2} + A)^{2}$
$12x^{4} + 12Ax^{2} + 12Bx = 9x^{4} + 6Ax^{2} + A^{2}$
$3x^{4} + 6Ax^{2} + 12Bx - A^{2} = 0$
$x^{4} + 2Ax^{2} + 4Bx - \frac {A^{2}} {3} = 0$

これはxの4次方程式です。
このxの複素数解が重根を持たないことを示します。
それには4次方程式の判別式Dを計算します。
$t^{4} + xt^{2} + yt + z$ =0の判別式は、
$D = 256 z^{3} - 128 x^{2} z^{2} + (144y^{2}x + 16x^{4})z - 4y^{2}x^{3} - 27y^{4}$ とかけます。

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~myoshida/stlasadisc.pdf

ここで、 $x = 2A, y = 4B, z = - \frac {A^{2}} {3}$ なので、代入していけばよいですが、
分母がでるのがいやなので、27Dを計算していきます。
$27D = 256 (3z)^{3} - 128x^{2} 3 (3z)^{2} + 9 (144y^{2}x + 16x^{4})(3z) - 4 \cdot 27y^{2}x^{3} - 27 \cdot 27y^{4}$
$= - 4096 A^{6} - 55296 A^{3} B^{2} - 186624 B^{4}$
$= - 256 (4A^{3} + 27B^{2})^{2}$
となり、0にはならないので、重根をもたないことが分かります。
これにより、xが4つの複素数を取りうることが分かります。
点P(x,y)が楕円曲線上にあるとき、点-P(x,-y)も楕円曲線上にありますから、
xが4通り、yが2通りで、8つの点が解であることが分かります。
当然ながら、無限遠点Oも解なので、3等分点は9つあることが分かりました。
これらの点の加算結果をならべて、群がどうなるかを具体的に調べたいところですが、
計算がなかなかしんどいので結果だけを書くと、
$Z_3 \times Z_3$ となることが知られています。