モジュラー形式(modular forms) その1

j関数の定理を証明するのにmodular formsの知識が必要なので、勉強し始めました。
とりあえず、教科書が届くまではネットのPDFで勉強します。

一般線型群のモジュラー形式

$GL_2(\mathbb {R}) := \biggl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb {R}, ad - bc \ne 0 \biggr\}$
とし、
$\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \in GL_2( \mathbb {R})$
$z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}$ として、
$\gamma z := \frac {az + b} {cz + d}$ と定義する。

$z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}$ というのは複素数から実数を取り除いた集合という意味である。

命題1
$\gamma, \gamma' \in GL_2(\mathbb {R}), z \in \mathbb {C} - \mathbb {R}$ とするとき、以下が成り立つ。

(i) $Im(\gamma z) = \frac {det(\gamma) Im(z) } {|cz + d|^{2}}$
(ii) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} z = z$
(iii) $\gamma (\gamma'(z)) = (\gamma \gamma')(z)$

証明
(i) 先に $Im(\overline z) = -Im(z)$ であることを書いておく。
$Im(\gamma z) = Im( \frac {az + b} {cz + d}) = Im( \frac {(az+b)(c \overline z + d)} {|cz + d|^{2}})$
$= \frac {Im ( (az + b) (c \overline {z} + d)) } {|c z+d|^{2}} = \frac {Im (ac z \overline z + bd + ad z + bc \overline z) } {|c z+d|^{2}}$
$= \frac {Im (ad z + bc \overline z) } {|c z+d|^{2}} = \frac {(ad - bc) Im(z) } {|c z+d|^{2}}= \frac { det(\gamma) Im(z) } {|c z+d|^{2}}$
(ii) $\frac {1 z + 0} { 0 z + 1 } = z$
(iii) $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}, \gamma' = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{pmatrix}$ とおく。
$\gamma z = \frac {ez + f} {gz + h}$
$\gamma (\gamma' z) = \frac { a \frac {ez + f} {gz + h} + b} { c \frac {ez + f} {gz + h} + d}$
$= \frac {(ae + bg)z + (af + bh)} {(ce +dg)z + (cf + dh)}$
一方、
$\gamma \gamma' = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \\ \end{pmatrix}$
したがって両辺は一致する。