有限体F27の元 - Pebble Coding

有限体 $F_{27} = F_{3^{3}}$ の要素を作ります。
べき部分が3なので、3次の規約多項式の根を追加する必要があります。
$x^{3} + 2x + 1 = 0$ を使います。
係数は $F_3$ なので、 $x^{3} = -2x -1 = x + 2$ です。
$x^{0} = 1$
$x^{1} = x$
$x^{2} = x^{2}$
$x^{3} = x + 2$
$x^{4} = x^{2} + 2x$
$x^{5} = x^{3} + 2x^{2} = x + 2 + 2x^{2}$
$x^{6} = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x = 2x + 4 + x^{2} + 2x = x^{2} + x + 1$
計算の仕方はだいたい分かったと思いますので以後結果のみを書きます。
$x^{7} = x^{2} + 2x + 2$
$x^{8} = 2x^{2} + 2$
$x^{9} = x + 1$
$x^{10} = x^{2} + x$
$x^{11} = x^{2} + x + 2$
$x^{12} = x^{2} + 2$
$x^{13} = 2$
$x^{14} = 2x$
$x^{15} = 2x^{2}$
$x^{16} = 2x + 1$
$x^{17} = 2x^{2} + x$
$x^{18} = x^{2} + 2x + 1$
$x^{19} = 2x^{2} + 2x + 2$
$x^{20} = 2x^{2} + x + 1$
$x^{21} = x^{2} + 1$
$x^{22} = 2x + 2$
$x^{23} = 2x^{2} + 2x$
$x^{24} = 2x^{3} + 2x^{2} =2x^{2} + 2x + 1$
$x^{25} = 2x^{2} + 1$
$x^{26} = 1$

有限体の乗法群は元の数が26(=27-1)個あり全ての要素が一つの要素のべきで得られる巡回群になっていることが分かります。

26乗すると1になる値は1の26乗根ともいい、 $e^{\frac {2 \pi i} {26} }$ と書けることが分かります。
この値は複素数です。元である $x^{26} = 1$ と $x^{13} = 2$ 以外は全て複素数で、
複素平面の上半面(Im(x) > 0)と下半面(Im(x) < 0)で線対称になっていることも分かります。

複素数ですと書きましたが、 $F_{27}$ の構造を調べる上では、複素数であるかどうかは関係なく
概念がむしろ邪魔になりますので気をつけましょう。

一般に有限体 $F_{p^{n}}$
pは素数、nは整数
の元xに対して、
$x^{p^{n}-1} = 1$
が成り立つことが知られています。