Doud's method - Pebble Coding

楕円曲線を満たすxを表す式の一つにDoud's methodがあります。
これを使い、モジュラー多項式の次数を下げた多項式を得るSEA法のロジックのうちの一つを計算してみます。
ぺー関数を以下のように表すのがDoud's methodです。
$P(z) = (\frac {w \pi i} {\omega_2} )^{2} ( \frac {1} {12} + \frac {u} {(1-u)^{2}} + \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} (\frac {u} {(1-q^{n}u)^{2}} + \frac {u} {(q^{n} - u)^{2}} - \frac {2} {(1-q^{n})^{2}}) )$
$u = exp(2 \pi i z/ \omega_2), \tau = \omega_1/\omega_2, q = exp(2 \pi i \tau), z \in \mathbb C$

頭についている定数は以後の計算では省略していきます。最終的な等式では計算によって消えます。

必要な等式を先に書いておきます。 $l$ はprimeとします。
$\zeta := exp(2 \pi i / l)$
$\sum_{i=0}^{l-1} \frac {\zeta^{i} X} {(1-\zeta^{i}X)^{2}} = \frac {l^{2} X^{l}} {(1-\zeta^{i})^{2}}$ (A)
$\sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}} = \frac {1-l^{2}} {12}$ (B)
$\frac {X} {(1-X)^{2}} = \sum_{m=1}^{\infty} m X^{m}$ (C)
$E_2(q) = 1 - 24 \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} n q^{nm}$ (D)
$x(\zeta, q) := \frac {1} {12} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^{n}} {(1-q^n)^{2}} + \sum_{n \in \mathbb {Z}} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1 - \zeta^{i} q^{n})^{2}}$ (E)

示すべき式は以下です。
$\sum_{i=1}^{l-1} x(\zeta, q) = \frac {l} {12} E_2(q) - \frac {l^{2}} {12} E_2(q^l)$

(E)のsumをとり、
$\sum_{i=1}^{l-1} x(\zeta, q) = \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + \sum_{i=1}^{l-1} \sum_{n \in \mathbb {Z}} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}}$
$= \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=1}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} + \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}$
$= \frac {l-1} {12} - 2(l-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^{n}} {(1-q^{n})^{2}} + \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}$
$= \frac {l-1} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} + \sum_{i=1}^{l-1} \frac {\zeta^{i}} {(1-\zeta^{i})^{2}}$
$= \frac {l-1} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}} + \frac {1-l^{2}} {12}$
$= \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 \sum_{i=0}^{l-1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\zeta^{i} q^{n}} {(1-\zeta^{i} q^{n})^{2}}$
$= \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \frac {q^n} {(1-q^{n})^{2}} + 2 l^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac { q^{nl}} {(1- q^{nl})^{2}}$
$= \frac {l-l^{2}} {12} - 2 l \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{nm} + 2 l^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{mnl}$
$= \frac {l} {12} (1- 24 \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{nm}) - \frac {l^{2}} {12} (1 - 24 \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} m q^{mnl})$
$= \frac {l} {12} E_2(q) - \frac {l^{2}} {12} E_2(q^{l})$