n次多項式の重根判定と微分

定理
複素数体上の多項式を考える。1)と2)は同値である。
1) n次多項式f(x)は重根を持つ。
2) n次多項式f(x)のある根に対しが成り立つ

証明 1) -> 2)
と書ける。
微分して、
したがって、が成り立つ。

証明 2) -> 1)
対偶である、「重根を持たなければ、全ての根に対し」を証明する。
n個の根をで表す。

重根を持たないので、は全て異なる値である。
微分して、







ここで、は全て異なる値なので、この値は0にならない。