division polynomialと等分点

楕円曲線のn等倍点の多項式(division polynomial) - Pebble Coding

ここで、division polynomial を示しました。
体K上の楕円曲線 $y^{2} = x^{3} + Ax + B$ 上の点P(x, y)をn倍(nは整数)した点は、division polynomialを用いて、以下のように書けます。
$n P = ( \frac { \phi_n (x)} { \psi_n^{2} (x)}, \frac { \omega_n (x, y)} { \psi_n^{3} (x, y)})$
ここで、n等分点、つまり、n倍したら無限遠点Oになる点( $n P = O$ )のxの条件を考えます。
無限遠点はx, yが無限大ですが、この式の分母で、 $\psi_n(x, y)$ の式が0になっていれば、この条件を満たすことが分かります。
つまり、 $\psi_n(x, y) = 0$ となる、xの値を求めれば、n等分点の全てのx座標が手に入ります。
$\psi_n$ の最大次数の項だけを書くと、
$n y x^{ \frac {n^{2} - 4} {2}}$ (nが偶数)
$n x^{ \frac {n^{2} - 1} {2}}$ (nが奇数)
となっています。
nが素数のときが重要なので、奇数の場合だけを考えます。
3等分点の場合は、 $\psi_3(x) = 3x^{4} + ...$
7等分点の場合は、 $\psi_7(x) = 7x^{24} + ...$
11等分点の場合は、 $\psi_{11}(x) = 11x^{60} + ...$
となります。
次数が２乗で跳ね上がっていくので、計算がきつそうなことが分かりますね。

n等分点の座標(x, y)はKの代数閉包 $\overline K$ の元となります。
Kが複素数体なら、 $\overline K$ は複素数体で同じですが、
Kが $F_p$ (p: prime)の場合は
$\overline F_p = F_p \cup F_{p^{2}} \cup F_{p^{3}} \cup F_{p^{4}} ...$ となります。
ここでは有限体の場合だけを考えます。
体の標数pがnを割り切らない場合、n等分点の集合と加算は群をなし、
$Z_n \oplus Z_n$ であり、要素数は $n^{2}$ であることが知られています。

有限体