楕円曲線のデルタの逆数のq展開の係数が整数であることの証明

楕円曲線で使われる $\Delta$ の逆数のq展開の係数が整数であることの証明が素晴らしかったので、メモしておきます。

$d \in Z$ について $d^{3} = d^{5} (mod 12)$ であることの証明。

$d^{5} - d^{3} = d^{2} (d-1) d (d +1)$
ここで、
$A = d^{2}$
$B = (d-1) d (d+1)$
とおく。
$B$ は連続する3つの整数なので3の倍数、連続する2つの整数を含むので2の倍数でもある、したがって6の倍数である。
dが奇数の場合、d-1, d+1は偶数で、Bは4の倍数なので、Bは12の倍数であり、ABは12の倍数である。
dが偶数の場合、偶数の自乗は4の倍数である。したがって、ABは12の倍数である。■

$d \in Z$ について $5 \sum_{d|n} d^{3} + 7 \sum_{d|n} d^{5} = 0 (mod 12)$ であることの証明。

$5d^{3} + 7d^{5} = 5(d^{5} + 12k) + 7d^{5}$ ここで $k \in Z$
$= 12 d^{5} + 5 \cdot 12k = 0 (mod 12)$
12の倍数を有限個加算したものも12の倍数である。 ■

以下は計算済みとして定義します。
$g_2 = \frac {(2 \pi)^{4}} {12} ( 1 + 240 X)$
$X = \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_3 (n) q^{n}$
$\sigma_3 (n) =\sum_{d|n} d^{3}$

$g_3 = \frac {(2 \pi)^{6}} {216} ( 1 - 504Y)$
$Y = \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_5 (n) q^{n}$
$\sigma_5 (n) = \sum_{d|n} d^{5}$

$\Delta = {g_2}^{3} - 27 {g_3}^{2}$

愚直に代入して計算すると、
$1728 (2 \pi)^{-12} \Delta = (1 + 240X)^{3} - (1 - 504Y)^{2}$

$右辺 = 144 (5X + 7Y)( \mod 1728)$
したがって、
$1728 (2 \pi)^{-12} \Delta = 1728k + 144 (5X + 7Y)$ ここで $k \in Z$
$5X + 7Y = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_3 (n) q^{n} + 7 \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_5 (n) q^{n}$
$= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{d|n} 5 d^{3} q^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{d|n} 7 d^{5} q^{n}$
$= \sum_{n=1}^{\infty} 12m q^{n}$ ここで $m \in Z$

$144 \cdot 12 = 1728$ なので
$(2 \pi)^{-12} \Delta = k + \sum_{n=1}^{\infty} m q^{n}$
k, mは整数なので、
$(2 \pi)^{-12} \Delta = \sum_{n=0}^{\infty} d_n q^{n}, d_n \in Z$
となる。
ここで、n=0の係数は0でn=1の係数は1であることは証明せずに認める。すると以下となる。
$(2 \pi)^{-12} \Delta = q (1 + \sum_{n=1}^{\infty} e_n q^{n}), e_n \in Z$

$(2 \pi)^{12} {\Delta}^{-1} = q^{-1} \sum_{n=0}^{\infty} f_n q^{n}, f_n \in Z$ であることの証明。
$T(q) = \sum_{n=1}^{\infty} e_n q^{n}$ とおく。
m回微分したものは、
$T^{(m)}(q) = \sum_{n=m}^{\infty} e_n n \cdot (n-1) ... (n-m+1) q^{n-m}$
q=0の時の値は、
$T^{(m)}(0) = e_m \cdot m!$
$S(q) = \frac {1} {(2 \pi)^{-12} \Delta} - \frac {1} {q} = \frac {1} {q} \cdot \frac {1} {1 + T(q)} - \frac {1} {q}$
ここで $F(q) = \frac {1} {1 + T(q)}$ をq = 0の周りでTayler展開する。
$F(q) = \sum_{n=0} F^{(n)}(0) \frac {1} {n!} q^{n}$
$F^{(1)} (q) = (-1) (1 + T(q))^{-2} T^{(1)} (q)$
$F^{(2)} (q) = (-1)(-2)(1 + T(q))^{-3} {(T^{(1)} (q))}^{2} + (-1)(1 + T(q))^{-2} T^{(2)}(q)$
$F^{(3)} (q) = (-1)(-2)(-3) {(1 + T(q))}^{-4} {({T}^{(1)} (q))}^{3} + (-1)(-2) 3 {(1+T(q))}^{-3} {T}^{(1)} (q) {T}^{(2)} (q) + (-1) {(1+T(q))}^{-2} {T}^{(3)} (q)$

$T(0) = 0$ なので、
$F^{(0)} (0) = 1$
$F^{(1)} (0) = (-1) \cdot e_1$
$F^{(2)} (0) = (-1)(-2)(e_1)^{2} + (-1) 2! e_2$
$F^{(3)} (0) = (-1)(-2)(-3)(e_1)^{3} + (-1)(-2) 3 e_1 2! e_2 + (-1) 3! e_3$
となり、 $F^{(n)} (0)$ は一般に整数のn!倍であることが分かる。したがって、
$F(q) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} f_n q^{n}, f_n \in Z$
$S(q)= q^{-1} \sum_{n=1}^{\infty} f_n q^{n}, f_n \in Z$ ■