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ソフトウェアエンジニアによるIT技術、数学の備忘録

オイラーの五角数定理(Euler's Pentagonal Number Theory)とj関数の係数の計算

楕円曲線

オイラーの五角数定理というのがあるようです。
j関数の計算に使われるようです。

\prod_{n=1}^{\infty} (1 - q^{n}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n} q^{\frac {3n+1} {2} } = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} ( q^{\frac { n(3n-1) } {2}} + q^{\frac {n(3n+1)} {2}})
= 1 - q - q^{2} + q^{5} + q^{7} - q^{12} - q^{15} + ...

証明はこちら。

https://faculty.math.illinois.edu/~reznick/2690367.pdf

j関数の係数は以下のように計算できます。
ここでは低次の係数のみを求めてみます。

j(q) = \frac {(1 + 240 \sum_{j=1}^{\infty} \frac {j^{3} q^{j}} {1- q^{j}})^{3}} {q \prod_{k=1}^{\infty} (1-q^{k})^{24}}

T(q) = qj(q) = \frac {A(q)^{3}} {B(q)^{24}} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n} {n!} q^{n}
と置いて a_1, a_2を求めることにします。
つまり、
j(q) = q^{-1} + 744 + 196884q + ...
a_1 = 744, a_2 = 393768を求めます。
T(q)を微分した式にq=0を入れて係数を求めるというオーソドックスな手法を用います。

A(q) = 1 + 240 \sum_{j=1}^{\infty} \frac {j^{3} q^{j}} {1 - q^{j}}
A'(q) = 240 \sum_{j=1}^{\infty} (\frac {j^{4} q^{j-1}} {1 - q^{j}} + j^{3} q^{j} (-1)(1-q^{j})^{-2} (-j q^{j-1}))
A''(q) = 省略

A(0) = 1
A'(0) = 240
A''(0) = 4320

B(q) = 1 - q - q^{2} + q^{5} + q^{7} + ..
B(0) = 1
B'(0) = -1
B''(0) = -2

T'(q) = 3A^{2} A' B^{-24} + A^{3} (-24) B^{-25} B'
T''(q) = 省略

T'(0) = 720 + 24 = 744
T''(0) = 345600 + 12960 + 17280 + 17280 + 600 + 48 = 393768

上位の係数も微分を繰り返せばコンピュータで求められそうです。