j不変量(j invariant) - Pebble Coding

SL(2, Z)とモジュラー性 - Pebble Coding

こちらの記事で $G_3(\frac {a \tau + b} {c \tau + d}) = (c\tau + d)^{3} G_3(\tau)$ であることをみましたが、
一般に $G_k(\frac {a \tau + b} {c \tau + d}) = (c\tau + d)^{k} G_k(\tau)$ であることが確かめられます。
$g_2(\tau) = 60G_4(\tau)$ , $g_3(\tau) = 140 G_6(\tau)$ と定義されているので、

$\Delta(\frac {a \tau + b} {c \tau + d}) = {g_2}^{3} - 27 {g_3}^{2} = 60^{3} \cdot G_4^{3} - 27 \cdot {140}^{2} \cdot G_6^{2}$
$= {(c \tau + d)}^{12} (60^{3} \cdot G_4(\tau)^{3} - 27 \cdot {140}^{2} \cdot G_6(\tau)^{2}) = {(c \tau + d)}^{12} \Delta(\tau)$
同じように、 $g_2(\frac {a \tau + b} {c \tau + d})^{3} = {(c \tau + d)}^{12} g_2(\tau)$

楕円曲線のデルタの逆数のq展開の係数が整数であることの証明 - Pebble Coding

こちらの記事に出てきた $\Delta$ と $g_2$ を使って $j( \tau ) = 1728 \frac {{g_2}^{3}} {\Delta}$ と定義します。
こちらはj不変量と呼ばれています。
上で計算した式を使うと、
$j(\frac {a \tau + b} {c \tau + d}) = j(\tau)$ が成り立つのがわかります。
成り立つ条件をきちんと書いておくと、 $a, b, c, d \in Z, ad - bc = 1$ です。
この条件は $SL(2, Z)$ とも表現されます。
また、 $\tau$ は upper half plane つまり、複素平面の虚部y>0の範囲内の複素数です。
なぜ上半分だけなのかというと、それ以外の位置では、定義の式が発散してしまい都合が悪いからです。
$G_k(\tau)$ の式は、 $q = e^{2 \pi i \tau}$ を使ってqの無限多項式で表すことができますが、
$\tau = x + iy, x,y \in R$ とすると、
$q = e^{2 \pi i x} \cdot e^{-2 \pi y}$ となります。
qのべきが大きくなるほど値を小さくするには、 $y \gt 0$ が必要になります。