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ソフトウェアエンジニアによるIT技術、数学の備忘録

有限体の楕円曲線の有理点の数とZ関数

楕円曲線

有限体の楕円曲線の有理点の数からZ関数を導いていきます。

定理1
qを素数とし、有限体 F_q上の楕円曲線Eの有理点について、
\#E(F_q) = q + 1 - aとおきます。
また、 X^{2} - a X + q = 0の解を複素数 \alpha, \betaとおきます。 すると、有限体 F_{q^{n}} 上の楕円曲線Eの有理点の数は、
q^{n} + 1 - {\alpha}^n - {\beta}^{n} (n \ge 1)となります。 証明は省略します。

ここからZ関数を作っていきます。
N_n = \#(F_{q^{n}})と定義します。この N_nを使って楕円曲線EのZ関数を
Z_E (T) = \exp( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac { N_n } { n } T^{n})と定義します。
このZ関数には N_nの情報が全て入っています。
exp はテイラー展開をこのように表現していると考えてもよいです。
ここで、 Z_E (T) = \frac {q T^{2} - a T + 1} {(1-T)(1-qT)}とかけます。
証明:
X^{2} - aX + q = (X-\alpha)(X-\beta)なので、定理1より、
N_n = q^{n} + 1 - {\alpha}^{n} - {\beta}^{n}です。
- \log (1 - t) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^{n}} {n}を使うと、
Z_E (T) = \exp( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac {N_n} {n} {T}^{n})
= \exp (\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (q^{n} + 1 - {\alpha}^{n} - {\beta}^{n}) \frac {T^{n}} {n})
= \exp (- log(1 - qT) - log(1-T) + log(1-\alpha T) + log(1 - \beta T))
= \frac {(1 - \alpha T)(1 - \beta T)} {(1 - T)(1 - qT)}
= \frac {q T^{2} - a T + 1} {(1 -T)(1-qT)}