群(group)の定義
ある要素の集まりに対して、一つの演算規則 f を決め、演算結果はまた要素の集まりの一つになっているとします。
a, b, c を要素とします。
1) 全ての要素に対して、結合法則が成り立つ
f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c))
2) 全ての要素に対して、単位元が存在する
3) 全ての要素に対して、逆元が存在する
体(field)の定義
ある要素の集まりに対して、加算 f と乗算 g を決め、演算結果はまた要素の集まりの一つになっているとします。
a, b, cを要素とします。
1) 加算について可換群(単位元と逆元が存在する)
2) 乗算について可換群(単位元と逆元が存在する)
3) 加算、乗算について分配法則が成り立つ
f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c))
g(f(a, b), c) = g(a, g(b, c))
体の元の数を位数と呼びます。
例1:
整数の集合は体ではありません。
なぜなら 3 を乗算する演算の逆元は 1/3 だが、これは整数ではなく有理数になってしまうから。
例2:
有理数の集合は体です。
有限体
整数の集合に対して、
加算を「整数の加算後に素数pで割った余り」
乗算を「整数の乗算後に素数pで割った余り」と定義した場合、体となります。
つまり、全ての要素に対して逆元が存在します。
元の数は p となります。
この体をと書きます。
