Pebble Coding

プログラマーの作業メモ

群、体の定義

群(group)の定義

ある要素の集まりに対して、一つの演算規則 f を決め、演算結果はまた要素の集まりの一つになっているとします。
a, b, c を要素とします。

1) 全ての要素に対して、結合法則が成り立つ
f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c))
2) 全ての要素に対して、単位元が存在する
3) 全ての要素に対して、逆元が存在する

体(field)の定義

ある要素の集まりに対して、加算 f と乗算 g を決め、演算結果はまた要素の集まりの一つになっているとします。
a, b, cを要素とします。
1) 加算について可換群
2) 乗算について可換群
3) 加算、乗算について分配法則が成り立つ
f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c))
g(f(a, b), c) = g(a, g(b, c))

体の元の数を位数と呼びます。

ガロア体(galois field)

整数の集合に対して、
加算を「整数の加算後に素数pで割った余り」、乗算を「整数の乗算後に素数pで割った余り」とした場合、
これは位数 p の体となることが知られています。
つまり、全ての要素に対して逆元が存在します。 この体をGF(p)と書きます。