素体の代数閉包(algebraic closure)

素体の閉包のイメージを掴んでおきます。

$F_3$ を考えます。この体は0, 1, 2の3つの元を持ちます。
加法の表はこうなります。

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

乗法の表はこうなります。

	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	1

$F_{3^{2}}$ を考えます。この体は9つの元を持ちます。
9つの元は、例えば、 $0, 1, 2, \sqrt {2}, 1 + \sqrt {2}, 2 + \sqrt {2}, - \sqrt {2}, 1 - \sqrt {2}, 2 - \sqrt {2}$ となります。
加法、乗法の表は示しませんが、体となっていることが確認できると思います。
この体は一般的に特定の条件を満たす2次方程式の2つの独立した解を $F_3$ に追加することで得られます。
ここでは、 $x^{2} - 2 = 0$ の解である2つの値 $x = \pm \sqrt {2}$ を追加しています。

$F_{3^{3}}$ を考えます。この体は27個の元を持ちます。
27個の元は例えば3次方程式 $x^{3} - 2 = 0$ の3つの独立した解を $F_3$ に追加することで得られます。
3つの解は $\sqrt[3] {2}, \sqrt[3] {2} \cdot \frac {-1 \pm \sqrt {3} i} {2}$ となります。27個の元の具体的な形は想像がつくと思います。