体論 - Pebble Coding

定義 1
Kを体とする。任意の定数でない1変数多項式 $f(x) \in K[x$ ]に対し
$\alpha \in K$ があり $f(\alpha) = 0$ となるとき、Kを代数閉体(algebraically closed field)という。
定理 1
Kが代数閉体で、fが $f(x) = x^{n} + a_1 x^{n-1} + ... + a_n$
$a_1, ..., a_n \in K$ の形である場合、
$\alpha_1, ..., \alpha_n \in K$ が存在し、 $f(x) = (x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)$ である。
拡大体のゆるい定義 2
体Kにいくつかの元を添加して得られたものLがまた体になっている時、Lを拡大体と呼ぶ。

体Kにn個の元 $\alpha_1, ..., \alpha_n$ を追加して拡大体Lをつくった時、
LはKのn次元ベクトル空間とみなせる。このベクトル空間の次元を[L : K]の記号で表す。

既約多項式のゆるい定義 3

多項式 $f(x) = x^{n} + a_1 x^{n-1} + ... + a_n$ が考えている対象(体や環など)の多項式の範囲内で、
それ以上因数分解できない時、既約多項式と呼ぶ。

定理2
Kを体、f(x)をK上既約な多項式で $\deg f(x)=n$ である時、
L= K[x]/(f(x))は体となり、[L : K] = nである。

ここでK[x]はxの1変数多項式を表し、K[x]/(f(x))は、
K[x]をf(x)=0の範囲で同一とみなした商体を表す。

定義4
有理数体Qを有限次拡大したものを代数拡大と呼ぶ。
定理3 L/Kを体の代数拡大で $\alpha \in L$ とする。K上の多項式 $f(x) \ne 0$ で $f(\alpha) = 0$ となり、
$deg f(x)$ が最小のものは既約であり、定数倍を除いて一意的に定まる。
定義5
定理3で最上位次数の係数が1のものを最小多項式と呼ぶ。
定義6
Kを体とする。
L/Kが代数拡大であり、Lが代数閉体である時、LをKの代数閉包(algebraic closure)と呼ぶ。
Kの閉包を $\overline {K}$ という記号で表す。
定義7
(1) $f(x) \in K[x], \alpha \in \overline {K}$ でf(x)が $\overline {K} [x$ ]で $(x-\alpha)^{2}$ で割り切れる時、 $\alpha$ をf(x)の重根と呼ぶ。
(2) $f(x) \in K[x]$ が $\overline {K}$ で重根を持たない時、分離多項式と呼ぶ。
(3) $\alpha \in \overline {K}$ のK上の最小多項式が分離多項式である時、 $\alpha$ はK上分離的(separable)と呼ぶ。
定義8
A, Bを体Kの拡大体とする。AからBへの準同型写像全体の集合を $Hom_K^{al} (A, B)$ という記号で表す。
定理4
L/Kを体の代数拡大、 $L = K(\alpha) (\alpha \in L)$ とする。
$\alpha$ がK上分離的なら、 $\# Hom_K^{al} (L, \overline {K}) = [L : K]$ が成り立つ。ここで#は準同型写像の数を表す。

定理2と定理4を使い、
Kを体、f(x)をK上既約な多項式として、体L= K[x]/(f(x))をつくる。
$f(x) = (x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)$ として、
$\alpha_1, ..., \alpha_n$ が分離的であれば、
$\# Hom_K^{al} (K[x]/(f(x)), K[x]) = deg(f)$ が成り立つ。

代数学2　環と体とガロア理論

作者:雪江　明彦
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2010/12/07
メディア: 単行本（ソフトカバー）