体論
定義 1
Kを体とする。任意の定数でない1変数多項式]に対し
があり
となるとき、Kを代数閉体(algebraically closed field)という。
定理 1
Kが代数閉体で、fが
の形である場合、
が存在し、
である。
拡大体のゆるい定義 2
体Kにいくつかの元を添加して得られたものLがまた体になっている時、Lを拡大体と呼ぶ。
体Kにn個の元を追加して拡大体Lをつくった時、
LはKのn次元ベクトル空間とみなせる。
このベクトル空間の次元を[L : K]の記号で表す。
- 既約多項式のゆるい定義 3
多項式が考えている対象(体や環など)の多項式の範囲内で、
それ以上因数分解できない時、既約多項式と呼ぶ。
- 定理2
Kを体、f(x)をK上既約な多項式でである時、
L= K[x]/(f(x))は体となり、[L : K] = nである。
ここでK[x]はxの1変数多項式を表し、K[x]/(f(x))は、
K[x]をf(x)=0の範囲で同一とみなした商体を表す。
定義4
有理数体Qを有限次拡大したものを代数拡大と呼ぶ。定理3 L/Kを体の代数拡大で
とする。K上の多項式
で
となり、
が最小のものは既約であり、定数倍を除いて一意的に定まる。
定義5
定理3で最上位次数の係数が1のものを最小多項式と呼ぶ。定義6
Kを体とする。
L/Kが代数拡大であり、Lが代数閉体である時、LをKの代数閉包(algebraic closure)と呼ぶ。
Kの閉包をという記号で表す。
定義7
(1)でf(x)が
]で
で割り切れる時、
をf(x)の重根と呼ぶ。
(2)が
で重根を持たない時、分離多項式と呼ぶ。
(3)のK上の最小多項式が分離多項式である時、
はK上分離的(separable)と呼ぶ。
定義8
A, Bを体Kの拡大体とする。AからBへの準同型写像全体の集合をという記号で表す。
定理4
L/Kを体の代数拡大、とする。
がK上分離的なら、
が成り立つ。 ここで#は準同型写像の数を表す。
定理2と定理4を使い、
Kを体、f(x)をK上既約な多項式として、体L= K[x]/(f(x))をつくる。
として、
が分離的であれば、
が成り立つ。

- 作者:雪江 明彦
- 出版社/メーカー: 日本評論社
- 発売日: 2010/12/07
- メディア: 単行本(ソフトカバー)