Hasseの定理から導き出される補題

楕円曲線に限定した Hasse の定理
$F_p$ 上の任意の楕円曲線の有理点の個数 $\#E$ の範囲は以下となる。
$p + 1 - 2 \sqrt{p} \leq \#E \leq p + 1 + 2 \sqrt{p}$

補題
楕円曲線 E ( $F_p$ ) に含まれる点Pで、
$m P = O$
となる m が Hasse の定理により定まる曲線の位数の区間
$p + 1 - 2 \sqrt{p} \leq m \leq p + 1 + 2 \sqrt{p}$
に唯一存在する時、
$\#E = m$ となる。

この補題は Hasse の定理から導かれます。
$m P = O$ ということは点Pの位数がmということです。
曲線の位数 #E は点の位数の倍数です。
範囲の最小値、最大値を以下のように表現する。
$a_{min} = p + 1 - 2 \sqrt{p}$
$a_{max} = p + 1 + 2 \sqrt{p}$

最小値の2倍と最大値の差をとってみる。
$2 a_{min} - a_{max}$
$= 2p + 2 - 4 \sqrt{p} - (p + 1 + 2 \sqrt{p})$
$= p - 6 \sqrt{p}$
これはpが十分大きいと0より大きい。
これは $a_{min}, a_{max}$ の範囲内の値の倍数はこの範囲内にはないということである。
したがって、倍数は1しかありえないため $\#E = m$ だということになる。