Twisted Edward曲線における加法

Twisted Edward曲線 $- x^{2} + y^{2} = 1 + d x^{2}y^{2}$

において、曲線上の２つの点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ の加算後の点を次のように定義する。

$\displaystyle X = \frac {x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}} {1 + d x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}}$

$\displaystyle Y = \frac {x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}} {1 - d x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}}$

この点は代数計算によって、Twisted Edward曲線上の点になることを確かめることができる。
が、計算は長く厄介なので、計算方法を記しておく。
計算のコツとしては常に $x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}$ の順序でまとめておくことである。　　

$A = - X^{2} + Y^{2} - d X^{2}Y^{2}$ を計算し、 $1$ に等しくなることを示す方針で行く。

代入すると $\displaystyle A = \frac {1} {(1 + d x_{1} x_{2} y_{1} y_{2})^{2}} \cdot \frac {1} {(1 - d x_{1} x_{2} y_{1} y_{2})^{2}} \cdot ( \\ - (x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})^{2}(1- d x_{1}x_{2}y_{1}y_{2})^{2} \\ + (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2})^{2} (1 + d x_{1} x_{2} y_{1} y_{2})^{2} \\ - d (x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})^{2} (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2})^{2})$

ここで、

$\displaystyle A(1 - d^{2} x_{1}^{2} x_{2}^{2} y_{1}^{2} y_{2}^{2})^{2} = B + C + D$ と置く。

B + C + Dを全て展開し、 $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ の順番で並べると、７つほどペアが消える。

$B + C + D = - x_{1}^{2}y_{2}^{2} - x_{2}^{2}y_{1}^{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} + y_{1}^{2} y_{2}^{2} \\ - d x_{1}^{4}x_{2}^{2}y_{2}^{2} - d x_{1}^{2}x_{2}^{4}y_{1}^{2} - d x_{1}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{4} - d x_{2}^{2}y_{1}^{4}y_{2}^{2} + 4 d x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2} \\ - d^{2} x_{1}^{4}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{4} - d^{2} x_{1}^{2}x_{2}^{4}y_{1}^{4}y_{2}^{2} + d^{2} x_{1}^{4}x_{2}^{4}y_{1}^{2}y_{2}^{2} + d^{2} x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{4}y_{2}^{4} \\ = E_{4} + E_{8} + E_{12}$

ここで $E_{i}$ はx,yの個数を表すが、それぞれ別々に計算してゆくと、 $E_{4}, E_{8}, E_{12}$ には、 $- x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ , $- x_{2}^{2} + y_{2}^{2}$ が２つ以上出てくるので、 $- x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1 + d x_{1}^2 y_{1}^2$
$- x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1 + d x_{2}^2 y_{2}^2$ に置き換える。